quarta-feira, 18 de outubro de 2017

Questão 43 - Agente Censitário Administrativo - IBGE - 2017 (Tipo 01-Branca)

Juliana leu 10 livros um após o outro, sem intervalos entre eles. Ela leu o primeiro livro em 2 dias, o segundo em 3 dias, o terceiro em 4 dias, e assim, sucessivamente, até o décimo livro. Ela terminou de ler o primeiro livro em um domingo, e o segundo livro, em uma quarta-feira. Juliana terminou de ler o décimo livro em um(a):
(A) domingo;
(B) segunda-feira;
(C) terça-feira;
(D) quarta-feira;
(E) sábado.

SOLUÇÃO

Juliana leu 10 livros, sendo que o primeiro foi lido em dois dias, o segundo em três dias, seguindo assim, ela leu o décimo livro em 11 dias, formando a sequência $$\begin{equation}\label{t}\left(\underset{(a_1)}{2},\underset{(a_2)}{3},\underset{(a_3)}{4},\cdots,\underset{(a_{10})}{11}\right)\end{equation}$$ que é uma P.A. crescente com 10 termos, cujo primeiro termo é $a_1=2$ e a razão é $r=1$.

Para saber o dia da semana que ela terminou se de ler o décimo livro, devemos determinar o tempo que Juliana levou para ler todos os livros, para isso, devemos somar os termos da sequência $\eqref{t}$ utilizando a soma dos termos de uma P.A. finita $$S_{10}=\frac{(11+2)\cdot 10}{2}=65\text{ dias}=7\cdot 9+2\text{ dias}$$ ou seja, para ler os dez livros, Juliana levou 65 dias que é equivalente a 9 semana e mais 2 dias.

O primeiro livro, Juliana terminou de ler num domingo, após 2 dias de leitura, isto quer dizer que ela começou a leitura dos dez livros numa sexta-feira (dois dias antes do domingo). Tomando a Sexta-feira como dia 0 da semana e a quinta-feira como o dia 6, temos a sequência abaixo $$\underset{(0)}{\text{Sexta-feira}},\underset{(1)}{\text{Sábado}},\underset{(2)}{\text{Domingo}},\underset{(3)}{\text{Segunda-feira}},\underset{(4)}{\text{Terça-feira}},\underset{(5)}{\text{Quarta-feira}},\underset{(6)}{\text{Quinta-feira}}$$ Assim, passados 2 dias além da 9ª semana, verificamos que ela terminou a leitura do último livro num domingo.

ALTERNATIVA A

terça-feira, 17 de outubro de 2017

Questão 20 - Professor de Matemática IFPE 2014

Um ponto P é escolhido aleatoriamente no interior de do hexágono ABCDEF, de vértices $A(0,6), B(0,8),C(5\pi +2,0),D(5\pi +2,20), E(4,20)$ e $F(0,12)$. Qual a probabilidade de que o ângulo APB seja agudo?
a. $12{,}5\%$
b. $80\%$
c. $87{,}5\%$
d. $50\%$
e. $67{,}5\%$

SOLUÇÃO

Considere a figura abaixo
Os pontos $A,B,C,D,E$ e $F$ são os vértices do hexágono do problema. $M$ é o ponto médio do segmento $\overline{AB}$. A semicircunferência $AB$ é o arco capaz do ângulo de $90^\circ$, assim, se o ponto $P$ estiver no interior da semicircunferência $AB$, então o ângulo $APB$ obtuso, se $P$ for um ponto da semicircunferência, então o ângulo $APB$ será retângulo e se $P$ for um ângulo externo a semicircunferência $AB$, então $APB$ será agudo. Deste modo, a probabilidade de  $APB$ ser agudo é:
$$p=\dfrac{A_{ABCDEF}-A_{AB}}{A_{ABCDEF}}$$
onde, $A_{ABCDEF}$ é a área do hexágono $ABCDEF$ e $A_{AB}$ é a área do semicírculo $AB$.
Se adicionarmos os pontos $O(0,0)$ e $O'(0,20)$ transformamos o hexágono $ABCDEF$ no retângulo $OCDO'$. Assim, a área do hexágono $ABCDEF$ será a área do retângulo $OCDO'$ menos as áreas dos triângulos $AOB$ e $EO'F$


$$A_{ABCDEF}=A_{OCDO'}-A_{AOB}-A_{EO'F}=(5\pi+2)\cdot 20-\frac{8\cdot 6}{2}-\frac{8\cdot 4}{2}\Rightarrow A_{ABCDEF}=100\pi$$

Já o semicírculo $AB$ tem raio $r=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{10}{2}=5$ (lembre-se que $\overline{AB}=\sqrt{(0-8)^2+(6-0)^2}=10$), assim, a área de $AB$ será
$$A_{AB}=\frac{\pi\cdot 5^2}{2}=\frac{25\pi}{2}$$

Assim, a probabilidade de escolher $P$ tal que o ângulo $APB$ seja agudo é

$$p=\dfrac{100\pi-\dfrac{25\pi}{2}}{100\pi}=0{,}875=87{,}5\%$$

ALTERNATIVA C

segunda-feira, 27 de fevereiro de 2017

Questão 20 - IFPE - Professor de Matemática (cod 320) - 2009

Na figura a seguir, estão esboçados os gráficos das funções quadráticas $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$.



Com base no gráfico, analise as relações entre $f$ e $g$:
I. $f (x) = −g(− x) \forall x\in\mathbb{R}$
II. $f (x − 2) = −g(x) \forall x\in\mathbb{R}$
III. $f (x) = −g(x + 2) \forall x\in\mathbb{R}$
IV. $f (x + 2) = −g(x) \forall x\in\mathbb{R}$
V. $f (x) = −g(x − 2) \forall x\in\mathbb{R}$

Estão corretas, somente:
a) IV e V
b) II e III
c) I , IV e V
d) I , II e III
e) III e IV

SOLUÇÃO

Como cada uma das funções quadráticas interceptam um ponto do eixo das abscissas, então, elas têm a forma $h(x)=a_h\cdot (x-x_h)^2$, onde $a_h\in\mathbb{R}$ e $x_h$ é a raíz da função $h$. Observando os gráficos das funções $f$ e $g$, temos
$$\left\{\begin{matrix}
f(x) & = & (x+1)^2\\
g(x)&= &-(x-1)^2
\end{matrix}\right.$$
Desta forma, podemos testar as relações
I. $-g(-x)=-[-(-x-1)^2]=-[-(-1)^2(x+1)^2]=$
$-[-(x+1)^2]=(x+1)^2=f(x)$

II. $f(x-2)=(x-2+1)^2=(x-1)^2=-g(x)$

III. $-g(x+2)=-[-(x+2-1)^2]=(x+1)^2=f(x)$

IV. $f(x+2)=(x+2+1)^2=(x+3)^2\neq (x-1)^2=-g(x)$

V. $-g(x-2)=-[-(x-2-1)^2]=(x-3)^2\neq f(x)$

Alternativa D

Questão 17 - IFPE - Professor de Matemática - 2009

Na figura abaixo, a área da região compreendida entre as curvas $y = x^2$ e $y = x + 2$ , em unidades de área, é igual a:
a) $\dfrac{31}{6}$
b) $\dfrac{9}{2}$
c) $\dfrac{13}{6}$
d) $\dfrac{1}{2}$
e) $\dfrac{10}{3}$

SOLUÇÃO

Vamos determinar os pontos de interseção entre as curvas
$$x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x_1=-1\text{ e } x_2=2$$

Temos que a região sombreada está entre as curvas no intervalo $x\in [-1,2]$, então, sua área $A$ é determinada por:
$$A=\int_{-1}^{2}[(x+2)-x^2]\text{d}x=\left.\left(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right)\right|_{-1}^{2}$$
$$A=\left(-\dfrac{8}{3}+2+4\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2\right)=\dfrac{9}{2}$$

Alternativa B

domingo, 26 de fevereiro de 2017

Questão 13 - TRT 1ª - Técnico Judiciário - Administrativo - 2013

Um site da internet que auxilia os usuários a calcularem a quantidade de carne que deve ser comprada para um churrasco considera que quatro homens consomem a mesma quantidade de carne que cinco mulheres. Se esse site aconselha que, para $11$ homens, devem ser comprados $4400$ gramas de carnes, a quantidade de carne, em gramas, que ele deve indicar para um churrasco realizado para apenas sete mulheres é igual a:
(A) $2100$
(B) $2240$
(C) $2800$
(D) $2520$
(E) $2450$

SOLUÇÃO

Sabe-se que a quantidade de carne comprada para $4$ homens é igual a quantidade de carne compra para $5$ mulheres e deve-se compra $4400 g$ de carne para $11$ homens. A fim de determinar a quantidade de carne que deve ser comprada para $7$ mulheres, vamos determinar a quantidade de homens que tem a mesma indicação de carne para $7$ mulheres, sendo assim, seja $x$ essa quantidade:
Homens
Mulheres
4
5
$x$
7
$$\dfrac{4}{x}=\dfrac{5}{7}\Rightarrow x=\dfrac{28}{5}$$

Por fim, vamos determinar a quantidade $y$ de carne indicada para $\dfrac{28}{5}$ homens, em gramas.
Homens
Carne
11
4400
$\dfrac{28}{5}$
y
$$\dfrac{11}{\frac{28}{5}}=\dfrac{4400}{y}\Rightarrow y=\dfrac{4400\cdot 28}{11\cdot 5}=2240$$

Como a quantidade de carne indicada para $7$ mulheres é igual a de $\dfrac{28}{5}$ homens, então, a deve-se comprar $2240g$ de carne.

Alternativa B

sábado, 11 de fevereiro de 2017

Questão 17 - Prova 06 Tipo 001 - Técnico Judiciário - Apoio Especializado - Edificações - TRF 3ª - FCC - 2016

Em uma sala estão presentes apenas técnicos em edificações e técnicos em informática. O número de técnicos em edificações presentes na sala excede o de técnicos em informática em 4, e cada técnico exerce apenas uma especialidade (edificações ou informática). Sabe-se que seria necessário sortear ao acaso 20 pessoas da sala, no máximo, para garantir a formação de 4 duplas de técnicos, cada uma com um técnico de cada especialidade. Sendo assim, o número de técnicos em edificações que estão presentes na sala é igual a 
(A) 26.
(B) 18.
(C) 24.
(D) 16.
(E) 28.

SOLUÇÃO

Considere:
$x$ o número de técnicos em informática; e
$x+4$ o número de técnicos em edificações.

Como o objetivo é sortear até 20 pessoas de forma a garantir 4 duplas de técnicos de cada área. Na pior das hipóteses, se forem sorteados $x+4$ técnicos, estes poderão ser apenas de edificações, neste caso, será necessário sortear mais 4 técnicos, além dos $x+4$, para garantir as 4 duplas de técnicos de cada área, ou seja, deverá sortear $x+8$ técnicos. Assim,
$$x+8=20\Rightarrow x= 12$$

O número de técnicos de edificações é $x+4=16$

Alternativa D

sexta-feira, 10 de fevereiro de 2017

Questão 16 - Fiscal de Tributos - Prefeitura Municipal de Novo Gama-GO - IDIB - 2016

Considerando os conjuntos

$A=\{3,7,11\}$
$B=\{3,9,13\}$
$C=\{3,11,12\}$

Calcule $(A\cap B)\cup C$

a) $\{3\}$
b) C
c) A
d) $A\cap B$

RESOLUÇÃO

$(A\cap B)\cup C=(\{3,7,11\}\cap\{3,9,13\})\cup \{3,11,12\}=(\{3\})\cup \{3,11,12\}=\{3,11,12\}=C$

ALTERNATIVA C

terça-feira, 17 de janeiro de 2017

ENEM 2009 - Caderno Azul - Questão 136

Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001.

O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos.

Disponível em: http://www.ntu.org.br. Acesso em 16 jul. 2009 (adaptado).

Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a
  1. 355 milhões.
  2. 400 milhões.
  3. 426 milhões.
  4. 441 milhões.
  5. 477 milhões.

SOLUÇÃO

Para calcular o número $\overline{x}$ de passageiros transportado por dia em determinado mês/ano é utilizada a fórmula $$\overline{x}=\dfrac{N}{f}$$

Onde $N$ é o número total de passageiros no mês e $f$ é o tamanho da frota.

Assim, em Abril de 2001 $\overline{x}=400$. Nesse período, o número total de passageiros foi de 321,9 milhões, ou seja $N=321{,}9\cdot 10^6$, então $$400=\dfrac{321{,}9\cdot 10^6}{f}\Rightarrow f=\dfrac{321{,}9\cdot 10^6}{400}=804750$$

Como, em Outubro de 2008, o tamanho da frota era o mesmo que em Abril de 2001 e $\overline{x}=441$, então, o número total de passageiros, $N$, transportado no período foi:$$441=\dfrac{N}{804750}\Rightarrow N=441\cdot 804750=354894750\approx 355\cdot 10^6$$

Alternativa A