Na figura abaixo, a área da região compreendida entre as curvas $y = x^2$ e $y = x + 2$ , em unidades de área, é igual a:
a) $\dfrac{31}{6}$
b) $\dfrac{9}{2}$
c) $\dfrac{13}{6}$
d) $\dfrac{1}{2}$
e) $\dfrac{10}{3}$
SOLUÇÃO
Vamos determinar os pontos de interseção entre as curvas
$$x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x_1=-1\text{ e } x_2=2$$
Temos que a região sombreada está entre as curvas no intervalo $x\in [-1,2]$, então, sua área $A$ é determinada por:
$$A=\int_{-1}^{2}[(x+2)-x^2]\text{d}x=\left.\left(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right)\right|_{-1}^{2}$$
$$A=\left(-\dfrac{8}{3}+2+4\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2\right)=\dfrac{9}{2}$$
b) $\dfrac{9}{2}$
c) $\dfrac{13}{6}$
d) $\dfrac{1}{2}$
e) $\dfrac{10}{3}$
SOLUÇÃO
Vamos determinar os pontos de interseção entre as curvas
$$x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x_1=-1\text{ e } x_2=2$$
Temos que a região sombreada está entre as curvas no intervalo $x\in [-1,2]$, então, sua área $A$ é determinada por:
$$A=\int_{-1}^{2}[(x+2)-x^2]\text{d}x=\left.\left(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right)\right|_{-1}^{2}$$
$$A=\left(-\dfrac{8}{3}+2+4\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2\right)=\dfrac{9}{2}$$
Alternativa B
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