quarta-feira, 18 de outubro de 2017

Questão 43 - Agente Censitário Administrativo - IBGE - 2017 (Tipo 01-Branca)

Juliana leu 10 livros um após o outro, sem intervalos entre eles. Ela leu o primeiro livro em 2 dias, o segundo em 3 dias, o terceiro em 4 dias, e assim, sucessivamente, até o décimo livro. Ela terminou de ler o primeiro livro em um domingo, e o segundo livro, em uma quarta-feira. Juliana terminou de ler o décimo livro em um(a):
(A) domingo;
(B) segunda-feira;
(C) terça-feira;
(D) quarta-feira;
(E) sábado.

SOLUÇÃO

Juliana leu 10 livros, sendo que o primeiro foi lido em dois dias, o segundo em três dias, seguindo assim, ela leu o décimo livro em 11 dias, formando a sequência $$\begin{equation}\label{t}\left(\underset{(a_1)}{2},\underset{(a_2)}{3},\underset{(a_3)}{4},\cdots,\underset{(a_{10})}{11}\right)\end{equation}$$ que é uma P.A. crescente com 10 termos, cujo primeiro termo é $a_1=2$ e a razão é $r=1$.

Para saber o dia da semana que ela terminou se de ler o décimo livro, devemos determinar o tempo que Juliana levou para ler todos os livros, para isso, devemos somar os termos da sequência $\eqref{t}$ utilizando a soma dos termos de uma P.A. finita $$S_{10}=\frac{(11+2)\cdot 10}{2}=65\text{ dias}=7\cdot 9+2\text{ dias}$$ ou seja, para ler os dez livros, Juliana levou 65 dias que é equivalente a 9 semana e mais 2 dias.

O primeiro livro, Juliana terminou de ler num domingo, após 2 dias de leitura, isto quer dizer que ela começou a leitura dos dez livros numa sexta-feira (dois dias antes do domingo). Tomando a Sexta-feira como dia 0 da semana e a quinta-feira como o dia 6, temos a sequência abaixo $$\underset{(0)}{\text{Sexta-feira}},\underset{(1)}{\text{Sábado}},\underset{(2)}{\text{Domingo}},\underset{(3)}{\text{Segunda-feira}},\underset{(4)}{\text{Terça-feira}},\underset{(5)}{\text{Quarta-feira}},\underset{(6)}{\text{Quinta-feira}}$$ Assim, passados 2 dias além da 9ª semana, verificamos que ela terminou a leitura do último livro num domingo.

ALTERNATIVA A

terça-feira, 17 de outubro de 2017

Questão 20 - Professor de Matemática IFPE 2014

Um ponto P é escolhido aleatoriamente no interior de do hexágono ABCDEF, de vértices $A(0,6), B(0,8),C(5\pi +2,0),D(5\pi +2,20), E(4,20)$ e $F(0,12)$. Qual a probabilidade de que o ângulo APB seja agudo?
a. $12{,}5\%$
b. $80\%$
c. $87{,}5\%$
d. $50\%$
e. $67{,}5\%$

SOLUÇÃO

Considere a figura abaixo
Os pontos $A,B,C,D,E$ e $F$ são os vértices do hexágono do problema. $M$ é o ponto médio do segmento $\overline{AB}$. A semicircunferência $AB$ é o arco capaz do ângulo de $90^\circ$, assim, se o ponto $P$ estiver no interior da semicircunferência $AB$, então o ângulo $APB$ obtuso, se $P$ for um ponto da semicircunferência, então o ângulo $APB$ será retângulo e se $P$ for um ângulo externo a semicircunferência $AB$, então $APB$ será agudo. Deste modo, a probabilidade de  $APB$ ser agudo é:
$$p=\dfrac{A_{ABCDEF}-A_{AB}}{A_{ABCDEF}}$$
onde, $A_{ABCDEF}$ é a área do hexágono $ABCDEF$ e $A_{AB}$ é a área do semicírculo $AB$.
Se adicionarmos os pontos $O(0,0)$ e $O'(0,20)$ transformamos o hexágono $ABCDEF$ no retângulo $OCDO'$. Assim, a área do hexágono $ABCDEF$ será a área do retângulo $OCDO'$ menos as áreas dos triângulos $AOB$ e $EO'F$


$$A_{ABCDEF}=A_{OCDO'}-A_{AOB}-A_{EO'F}=(5\pi+2)\cdot 20-\frac{8\cdot 6}{2}-\frac{8\cdot 4}{2}\Rightarrow A_{ABCDEF}=100\pi$$

Já o semicírculo $AB$ tem raio $r=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{10}{2}=5$ (lembre-se que $\overline{AB}=\sqrt{(0-8)^2+(6-0)^2}=10$), assim, a área de $AB$ será
$$A_{AB}=\frac{\pi\cdot 5^2}{2}=\frac{25\pi}{2}$$

Assim, a probabilidade de escolher $P$ tal que o ângulo $APB$ seja agudo é

$$p=\dfrac{100\pi-\dfrac{25\pi}{2}}{100\pi}=0{,}875=87{,}5\%$$

ALTERNATIVA C