Questão 20 - Professor de Matemática IFPE 2014

Um ponto P é escolhido aleatoriamente no interior de do hexágono ABCDEF, de vértices $A(0,6), B(0,8),C(5\pi +2,0),D(5\pi +2,20), E(4,20)$ e $F(0,12)$. Qual a probabilidade de que o ângulo APB seja agudo?
a. $12{,}5\%$
b. $80\%$
c. $87{,}5\%$
d. $50\%$
e. $67{,}5\%$

SOLUÇÃO

Considere a figura abaixo

Os pontos $A,B,C,D,E$ e $F$ são os vértices do hexágono do problema. $M$ é o ponto médio do segmento $\overline{AB}$. A semicircunferência $AB$ é o arco capaz do ângulo de $90^\circ$, assim, se o ponto $P$ estiver no interior da semicircunferência $AB$, então o ângulo $APB$ obtuso, se $P$ for um ponto da semicircunferência, então o ângulo $APB$ será retângulo e se $P$ for um ângulo externo a semicircunferência $AB$, então $APB$ será agudo. Deste modo, a probabilidade de  $APB$ ser agudo é:
$$p=\dfrac{A_{ABCDEF}-A_{AB}}{A_{ABCDEF}}$$
onde, $A_{ABCDEF}$ é a área do hexágono $ABCDEF$ e $A_{AB}$ é a área do semicírculo $AB$.
Se adicionarmos os pontos $O(0,0)$ e $O'(0,20)$ transformamos o hexágono $ABCDEF$ no retângulo $OCDO'$. Assim, a área do hexágono $ABCDEF$ será a área do retângulo $OCDO'$ menos as áreas dos triângulos $AOB$ e $EO'F$

$$A_{ABCDEF}=A_{OCDO'}-A_{AOB}-A_{EO'F}=(5\pi+2)\cdot 20-\frac{8\cdot 6}{2}-\frac{8\cdot 4}{2}\Rightarrow A_{ABCDEF}=100\pi$$

Já o semicírculo $AB$ tem raio $r=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{10}{2}=5$ (lembre-se que $\overline{AB}=\sqrt{(0-8)^2+(6-0)^2}=10$), assim, a área de $AB$ será
$$A_{AB}=\frac{\pi\cdot 5^2}{2}=\frac{25\pi}{2}$$

Assim, a probabilidade de escolher $P$ tal que o ângulo $APB$ seja agudo é

$$p=\dfrac{100\pi-\dfrac{25\pi}{2}}{100\pi}=0{,}875=87{,}5\%$$

ALTERNATIVA C