Matemática e Raciocínio Lógico

Na figura a seguir, estão esboçados os gráficos das funções quadráticas $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. Com base no gráfico, analise as relações entre $f$ e $g$: I. $f (x) = −g(− x) \forall x\in\mathbb{R}$ II. $f (x − 2) = −g(x) \forall x\in\mathbb{R}$ III. $f (x) = −g(x + 2) \forall x\in\mathbb{R}$ IV. $f (x + 2) = −g(x) \forall x\in\mathbb{R}$ V. $f (x) = −g(x − 2) \forall x\in\mathbb{R}$ Estão corretas, somente: a) IV e V b) II e III c) I , IV e V d) I , II e III e) III e IV SOLUÇÃO Como cada uma das funções quadráticas interceptam um ponto do eixo das abscissas, então, elas têm a forma $h(x)=a_h\cdot (x-x_h)^2$, onde $a_h\in\mathbb{R}$ e $x_h$ é a raíz da função $h$. Observando os gráficos das funções $f$ e $g$, temos $$\left\{\begin{matrix} f(x) & = & (x+1)^2\\ g(x)&= &-(x-1)^2 \end{matrix}\right.$$ Desta forma, podemos testar as relações I. $-g(-x)=-[-(-x-1)^2]=-[-(-1)^2(x+1)^2]=$ $-[-(...

Na figura abaixo, a área da região compreendida entre as curvas $y = x^2$ e $y = x + 2$ , em unidades de área, é igual a: a) $\dfrac{31}{6}$ b) $\dfrac{9}{2}$ c) $\dfrac{13}{6}$ d) $\dfrac{1}{2}$ e) $\dfrac{10}{3}$ SOLUÇÃO Vamos determinar os pontos de interseção entre as curvas $$x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x_1=-1\text{ e } x_2=2$$ Temos que a região sombreada está entre as curvas no intervalo $x\in [-1,2]$, então, sua área $A$ é determinada por: $$A=\int_{-1}^{2}[(x+2)-x^2]\text{d}x=\left.\left(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right)\right|_{-1}^{2}$$ $$A=\left(-\dfrac{8}{3}+2+4\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2\right)=\dfrac{9}{2}$$ Alternativa B