Questão 20 - IFPE - Professor de Matemática (cod 320) - 2009

Na figura a seguir, estão esboçados os gráficos das funções quadráticas $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$.

Com base no gráfico, analise as relações entre $f$ e $g$:
I. $f (x) = −g(− x) \forall x\in\mathbb{R}$
II. $f (x − 2) = −g(x) \forall x\in\mathbb{R}$
III. $f (x) = −g(x + 2) \forall x\in\mathbb{R}$
IV. $f (x + 2) = −g(x) \forall x\in\mathbb{R}$
V. $f (x) = −g(x − 2) \forall x\in\mathbb{R}$

Estão corretas, somente:
a) IV e V
b) II e III
c) I , IV e V
d) I , II e III
e) III e IV

SOLUÇÃO

Como cada uma das funções quadráticas interceptam um ponto do eixo das abscissas, então, elas têm a forma $h(x)=a_h\cdot (x-x_h)^2$, onde $a_h\in\mathbb{R}$ e $x_h$ é a raíz da função $h$. Observando os gráficos das funções $f$ e $g$, temos
$$\left\{\begin{matrix}
f(x) & = & (x+1)^2\\
g(x)&= &-(x-1)^2
\end{matrix}\right.$$

Desta forma, podemos testar as relações

I. $-g(-x)=-[-(-x-1)^2]=-[-(-1)^2(x+1)^2]=$
$-[-(x+1)^2]=(x+1)^2=f(x)$

II. $f(x-2)=(x-2+1)^2=(x-1)^2=-g(x)$

III. $-g(x+2)=-[-(x+2-1)^2]=(x+1)^2=f(x)$

IV. $f(x+2)=(x+2+1)^2=(x+3)^2\neq (x-1)^2=-g(x)$

V. $-g(x-2)=-[-(x-2-1)^2]=(x-3)^2\neq f(x)$

Alternativa D