Uma cidade tinha 100 mil habitantes em 2009 e 120 mil habitantes em 2019. Supondo que o crescimento da população, ano a ano, ocorreu segundo uma progressão geométrica, podemos afirmar que a população dessa cidade no ano de 2015 era igual a 100.000 multiplicado por:
A) \( \sqrt[10]{\frac{6}{5}} \)
B) \( \sqrt[5]{\frac{6}{5}} \)
C) \( \sqrt[5]{\left(\frac{6}{5}\right)^3} \)
D) \( \sqrt[5]{\left(\frac{6}{5}\right)^2} \)
E) \( \sqrt[10]{\left(\frac{6}{5}\right)^9} \)
Resolução da Questão 33
Vamos resolver a questão 33 passo a passo de forma didática, usando conceitos de progressão geométrica (PG).
✅ Enunciado
Uma cidade tinha:
- 100 mil habitantes em 2009
- 120 mil habitantes em 2019
O crescimento populacional foi segundo uma progressão geométrica (PG), e queremos saber:
A população da cidade em 2015, em relação a 100.000 habitantes, foi multiplicada por qual fator?
✅ Passo 1: Representar a PG
Seja:
- \( P_0 = 100.000 \): população inicial (em 2009)
- \( r \): razão da PG (fator de crescimento anual)
- \( n \): número de anos passados
Então a fórmula da PG é:
\[ P_n = P_0 \cdot r^n \]
✅ Passo 2: Usar os dados para encontrar \( r \)
De 2009 a 2019 se passaram 10 anos. Assim:
\[ P_{10} = 100.000 \cdot r^{10} = 120.000 \]
Dividindo ambos os lados por 100.000:
\[ r^{10} = \frac{120.000}{100.000} = \frac{6}{5} \]
Logo:
\[ r = \sqrt[10]{\frac{6}{5}} \]
✅ Passo 3: Calcular a população em 2015
De 2009 até 2015 se passaram 6 anos. Logo, o número de habitantes será:
\[ P_6 = 100.000 \cdot r^6 \]
Substituindo \( r = \sqrt[10]{\frac{6}{5}} \):
\[ P_6 = 100.000 \cdot \left( \sqrt[10]{\frac{6}{5}} \right)^6 \]
Usando propriedades de potências e radicais:
\[ \left( \sqrt[10]{\frac{6}{5}} \right)^6 = \left( \frac{6}{5} \right)^{\frac{6}{10}} = \left( \frac{6}{5} \right)^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{\left( \frac{6}{5} \right)^3} \]
✅ Resposta final
A população em 2015 era igual a 100.000 multiplicado por:
\[ \sqrt[5]{\left( \frac{6}{5} \right)^3} \]
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