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QUESTÃO 33 - AGENTE CENSITÁRIO DE PESQUISA E MAPEAMENTO - IBGE - 2023

Uma cidade tinha 100 mil habitantes em 2009 e 120 mil habitantes em 2019. Supondo que o crescimento da população, ano a ano, ocorreu segundo uma progressão geométrica, podemos afirmar que a população dessa cidade no ano de 2015 era igual a 100.000 multiplicado por:

A) \( \sqrt[10]{\frac{6}{5}} \)

B) \( \sqrt[5]{\frac{6}{5}} \)

C) \( \sqrt[5]{\left(\frac{6}{5}\right)^3} \)

D) \( \sqrt[5]{\left(\frac{6}{5}\right)^2} \)

E) \( \sqrt[10]{\left(\frac{6}{5}\right)^9} \)


Resolução da Questão 33

Vamos resolver a questão 33 passo a passo de forma didática, usando conceitos de progressão geométrica (PG).

✅ Enunciado

Uma cidade tinha:

  • 100 mil habitantes em 2009
  • 120 mil habitantes em 2019

O crescimento populacional foi segundo uma progressão geométrica (PG), e queremos saber:

A população da cidade em 2015, em relação a 100.000 habitantes, foi multiplicada por qual fator?

✅ Passo 1: Representar a PG

Seja:

  • \( P_0 = 100.000 \): população inicial (em 2009)
  • \( r \): razão da PG (fator de crescimento anual)
  • \( n \): número de anos passados

Então a fórmula da PG é:

\[ P_n = P_0 \cdot r^n \]

✅ Passo 2: Usar os dados para encontrar \( r \)

De 2009 a 2019 se passaram 10 anos. Assim:

\[ P_{10} = 100.000 \cdot r^{10} = 120.000 \]

Dividindo ambos os lados por 100.000:

\[ r^{10} = \frac{120.000}{100.000} = \frac{6}{5} \]

Logo:

\[ r = \sqrt[10]{\frac{6}{5}} \]

✅ Passo 3: Calcular a população em 2015

De 2009 até 2015 se passaram 6 anos. Logo, o número de habitantes será:

\[ P_6 = 100.000 \cdot r^6 \]

Substituindo \( r = \sqrt[10]{\frac{6}{5}} \):

\[ P_6 = 100.000 \cdot \left( \sqrt[10]{\frac{6}{5}} \right)^6 \]

Usando propriedades de potências e radicais:

\[ \left( \sqrt[10]{\frac{6}{5}} \right)^6 = \left( \frac{6}{5} \right)^{\frac{6}{10}} = \left( \frac{6}{5} \right)^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{\left( \frac{6}{5} \right)^3} \]

✅ Resposta final

A população em 2015 era igual a 100.000 multiplicado por:

\[ \sqrt[5]{\left( \frac{6}{5} \right)^3} \]

✅ Gabarito: Letra C

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