QUESTÃO 26 - AGENTE CENSITÁRIO DE PESQUISA E MAPEAMENTO - IBGE - 2023

Na figura a seguir, os segmentos de reta \( \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DA} \) e \( \overline{DB} \) representam trechos de cinco ruas de um bairro.

Sabe-se que:

• \( AB = 125 \, \text{m} \)
• \( BC = 139 \, \text{m} \)
• \( AD = 132 \, \text{m} \)

Além disso, os comprimentos de \( BD \) e \( CD \), em metros, são iguais aos maiores números inteiros possíveis.

A medida, em metros, do trecho \( CD \) é igual a:

1. 282
2. 285
3. 389
4. 394
5. 399

📐 SOLUÇÃO

Queremos determinar o maior valor possível do trecho \(\overline{CD}\) de modo que o triângulo formado com os lados dados na figura exista.

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🔎 Dados do problema

Os segmentos representam trechos de ruas de um bairro, com os seguintes comprimentos:

• \(\overline{AB} = 125\,\text{m}\)
• \(\overline{BC} = 139\,\text{m}\)
• \(\overline{AD} = 132\,\text{m}\)

Devemos encontrar o valor de \(\overline{CD}\), sabendo que os segmentos \(\overline{BD}\) e \(\overline{CD}\) representam os maiores valores inteiros possíveis que permitem a formação de triângulos com os lados dados.

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🧠 Condição de existência de um triângulo

Um triângulo só pode existir se, dados três lados \( a \), \( b \) e \( c \), forem satisfeitas as desigualdades:

\[ \begin{cases} a + b > c \\ a + c > b \\ b + c > a \end{cases} \]

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🔧 Etapa 1: Encontrar o maior valor possível para \( \overline{BD} \)

O triângulo \( \triangle ABD \) é formado pelos lados:

\[ AB = 125,\quad AD = 132,\quad BD = x \]

Aplicando a condição de existência do triângulo:

\[ |125 - 132| < x < 125 + 132 \Rightarrow 7 < x < 257 \]

O maior valor inteiro possível para \( \overline{BD} \) é:

\[ \boxed{256\,\text{m}} \]

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🔧 Etapa 2: Determinar o maior valor possível para \( \overline{CD} \)

Agora, analisamos o triângulo \( \triangle BCD \), com os lados:

\[ BC = 139,\quad BD = 256,\quad CD = y \]

Aplicando novamente a condição de existência do triângulo:

\[ |256 - 139| < y < 256 + 139 \Rightarrow 117 < y < 395 \]

O maior valor inteiro possível para \( \overline{CD} \) é:

\[ \boxed{394\,\text{m}} \]

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✅ Resposta final:

A medida, em metros, do trecho \( \overline{CD} \) é igual a:

\[ \boxed{\text{Letra D) 394}} \]