Questão 39 - Tipo 001 - Escriturário (BB) - FCC (2011)

Para disputar a final de um torneio internacional de natação, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 francês e 2 brasileiros. Considerando que todos os atletas classificados são ótimos e têm iguais condições de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja entre os três primeiros colocados é igual a:

(A) $\dfrac{5}{14}$             (B) $\dfrac{3}{7}$             (C) $\dfrac{4}{7}$             (D) $\dfrac{9}{14}$             (E) $\dfrac{5}{7}$

SOLUÇÃO

Esse é um problema de probabilidade hipergeométrica, há $N=8$ atletas, entre eles tem $p=2$ atletas com determinada característica - ser brasileiro. Desejamos escolher $n=3$ atletas dos quais $k$ tem a característica observada que é "ser brasileiro". Sendo $X$ o número de atletas que têm a característica observada - ser brasileiro - entre os $n$ escolhidos, temos

$$P(X=k)=\dfrac{\binom{p}{k}\cdot\binom{N-p}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \text{ onde }\binom{p}{k}=C_{p, k}=\dfrac{p!}{k!\cdot(p-k)!}$$

$$P(X=k)=\dfrac{\binom{2}{k}\cdot\binom{8-2}{3-k}}{\binom{8}{3}}=\dfrac{\binom{2}{k}\cdot\binom{6}{3-k}}{\binom{8}{3}}$$

O problema quer saber a probabilidade de haver ao menos 1 atleta brasileiro entre os 3 primeiros colocados. Assim, pode haver $k=1$ ou $k=2$ brasileiros entre os 3 primeiros colocados

$$P(X=1\text{ ou }X=2)=P(X=1)+P(X=2)$$

Vamos calcular $P(X=1)$ e $P(X=2)$

$$P(X=1)=\dfrac{\binom{2}{1}\cdot\binom{6}{2}}{\binom{8}{3}}\left\{\begin{array}{l} \binom{2}{1}=\frac{2!}{1!\cdot (2-1)!}=2 \\ \binom{6}{2}=\frac{6!}{2!\cdot (6-2)!}=15 \\ \binom{8}{3}=\frac{8!}{3!\cdot(8-3)!}=56 \end{array}\right.\Rightarrow P(X=1)=\dfrac{2\cdot 15}{56}=\dfrac{15}{28}$$

$$P(X=2)=\dfrac{\binom{2}{2}\cdot\binom{6}{1}}{\binom{8}{3}}\left\{\begin{array}{l} \binom{2}{2}=\frac{2!}{2!\cdot (2-2)!}=1 \\ \binom{6}{1}=\frac{6!}{1!\cdot (6-1)!}=6 \\ \binom{8}{3}=\frac{8!}{3!\cdot(8-3)!}=56 \end{array}\right.\Rightarrow P(X=1)=\dfrac{1\cdot 6}{56}=\dfrac{3}{28}$$

Portanto

$$P(X=1\text{ ou }X=2)=\dfrac{15}{28}+\dfrac{3}{28}=\dfrac{9}{14}$$

Alternativa D

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