Questão 38 - Tipo 001 - Escriturário (BB) - FCC (2011)

Saulo aplicou R\$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R\$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 

Dados: use $\log 3 = 0{,}48$

(A) 15.             (B) 12.             (C) 10.             (D) 9.             (E) 6.

SOLUÇÃO

Saulo aplicou R\$45 000,00 num fundo de investimento com rendimento de 20% aa e deseja comprar uma casa com valor R\$ 135 000,00 e que valoriza 8% aa.

Tanto o fundo de investimento quanto a valorização da casa seguem um regime capitalização composta. Após um período $t$, o montante $M_f$ do fundo de investimento e o valor da casa $M_c$ são representados pelas expressões

$$\left\{\begin{array}{l}M_f=45000\cdot(1+0{,}2)^t \\ M_c=135000\cdot(1+0{,}08)^t\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}M_f=45000\cdot 1{,}2^t \\ M_c=135000\cdot 1{,}08^t\end{array}\right.$$

O problema deseja o tempo que o capital de Saulo deve ficar aplicado para que ele consiga comprar a casa. Para sabermos o tempo devemos fazer $M_f=M_c$.

$$45000\cdot 1{,}2^t=135000\cdot 1{,}08^t\Rightarrow\dfrac{135000}{45000}=\dfrac{1{,}2^t}{1{,}08^t}$$ $$3=\left(\dfrac{1{,}2}{1{,}08}\right)^t\Rightarrow\left(\dfrac{10}{9}\right)^t=3$$

Como a questão nos fornece $\log 3=0{,}48$, então, vamos utilizar esta informação para resolver a questão, lembrando que $\log 3=\log_{10} 3$.

$$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)^t=\log 3$$

Pelas propriedades dos logaritmos

$$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)^t=t\cdot\log\left(\dfrac{10}{9}\right)=t\cdot\left(\log 10 - \log 9\right)$$

Sabemos que $\log 10=1$ e $\log 9 = \log 3^2=2\cdot\log 3=2\cdot 0{,}48=0{,}96$. Assim

$$t\cdot\left(\log 10 - \log 9\right)=t\cdot (1-0{,}96)=0{,}04t$$

Portanto

$$\log\left(\dfrac{10}{9}\right)^t=\log 3\Rightarrow 0{,}04t=0{,}48\Rightarrow t=\dfrac{0{,}48}{0{,}04}=12$$

Serão decorridos 12 anos.

Alternativa B

O que achou da solução? Fez a questão de outra forma? Comenta aí!