Encontrar equação reduzida de reta tangente a uma curva pela definição de derivada

Marque a alternativa que apresenta a equação reduzida da reta tangente a curva $y=x^3+3x-1$ no ponto $(1, 3)$

a) $y=6x-3$

b) $y=x-1$

c) $y=3x-1$

d) $y=-x+3$

e) $y=2x+6$

SOLUÇÃO

Vamos resolver esta questão utilizando a definição de derivada de uma função $f(x)$ no ponto $\left( a, f(a)\right)$. 

$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Sendo $y=f(x)=x^3+3x-1$, então $f(1)=1^3+3\cdot 1 - 1=3$. Logo, o ponto $(1, 3)$ pertence a curva $y$. Para encontrar a equação reduzida da reta $a$ tangente a curva $f$ no ponto $(1, 3)$, vamos primeiro calcular o coeficiente angular, $m=f'(1)$, da reta $a$.

$$m=f'(1)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{[(1+h)^3+3(1+h)-1]-3}{h}$$

$$m=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{h^{3} + 3h^{2} + 6h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(h^2+3h+6)$$

$$m=6$$

A forma reduzida de uma reta $y=mx+q$, como $m,q\in\mathbb{R}$. Como $(1, 3)$ é um ponto da reta $a$, assim $x=1$ e $y=3$, ainda temo $m=6$ o coeficiente angular de $a$, então

$$3=1\cdot 6+q\Rightarrow q=-3$$

Portanto, a equação reduzida da reta $a$ é

$$a:y=6x-3$$