Derivada de uma função num ponto

Calcule, através da definição de derivada, a derivada da função $y=x^3-2x^2+1$ no ponto $(2, 1)$

Solução

A derivada de uma função $f(x)$ num ponto $(a, f(a))$ é:

$$f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

Assim, a derivada da curva $f(x)=y=x^3-2x^2+1$ no ponto $(2, 1)$ é

$$f'(2)=\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^3-2x^2+1-1}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^3-2x^2}{x-2}$$

$$f'(2)=\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^2(x-2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}x^2=2^2=4$$