sábado, 16 de outubro de 2021

Calculando a derivada de uma curva pela definição de derivada

Determine a derivada da curva $f(x)=-\dfrac{5}{x}$ no ponto $(-5, 1)$

Solução

A definição da derivada, $f'(a)$, da função $f(x)$ no ponto $(a, f(a))$ é
$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Assim, temos $f(x)=-\dfrac{5}{x}$ e $(-5, 1)$ é um ponto da curva $f$. Logo, a derivada de $f$ no ponto $(-5, 1)$ é
$$f'(-5)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(-5+h)-f(-5)}{h}$$
Temos
$$\begin{array}{ccc} f(-5+h)=-\dfrac{5}{-5+h} ;&& f(-5)=\dfrac{-5}{-5}=1 \end{array}$$
Assim
$$f'(-5)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{-\dfrac{5}{-5+h}-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{-\dfrac{h}{-5+h}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{-h}{(-5+h)\cdot h}$$
$$f'(-5)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{-1}{-5+h}=\dfrac{1}{5}$$

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